[인공지능 수학 - 확률과 확률분포]11강 : 확률-1

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확률(probability)

상대 도수에 의한 정의
- 똑같은 실험을 무수히 많이 반복할 때 어떤 일이 일어나는 비율
  - 상대도수의 극한이라고 할 수 있다.
- 다음날 비가 올 확률?
고전적 정의
- 표본공간(sample space)
  - 모든 가능한 실험결과들의 집합
  - 예) 주사위의 숫자 : {1,2,3,4,5,6}
- 사건
  - 관심있는 실험결과들의 집합
  - 표본 공간의 부분집합
  - 예) 주사위의 숫자 중 짝수 : {2,4,6}
- 어떤 사건이 일어날 확률
  - 표본 공간의 모든 원소가 일어날 확률이 같은 경우
  - 사건의 원소의 수 / 표본공간의 원소의 수
- 주사위를 2번 던졌을 때 합이 10일 확률
- 표본 공간
  - 총 36개의 원소
  - {(1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1),(2,2), …, (6,6)}
- 합이 10일 사건
  - {(4,6), (5,5), (6,4)}
  - 확률 = 3/36 = 1/12
A : 어떤 사건
- A가 일어날 확률
- P(A)
확률 1
- 반드시 그 사건이 일어남
확률 0
- 그 사건이 절대로 일어나지 않음
확률은 0에서 1사이의 값을 가짐

고전적 확률
- 표본 공간의 원소의 수를 세야함
- 사건의 원소의 수를 세야 함
- 따라서 경우의 수를 쉽게 셀 수 있는 방법이 필요
- 조합(combination) 사용
조합(combination)
- 어떤 집합에서 순서에 상관없이 뽑은 원소의 집합
n개 중 r개를 뽑는 조합의 수 $nCr = \binom{n}{r} = {n! \above 1pt {r!(n-r)!}}$
$n! = n(n-1)(n-2)…2 \cdot 1$
$\binom{5}{2} = {5! \above 1pt 2!(3!)} = {5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \above 1pt 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 10$
검은 공 : 3개
흰 공 : 4개
2개의 공을 무작위로 뽑을 때, 둘다 흰공이 나올 확률?
- 1번부터 7번까지 7개의 공
- 1~3 : 검은 공
- 4~7 : 흰공
- 표본 공간
  - {(1,2), (1,3), …, (6,7)}
- 흰공 2개인 사건
  - {(4,5), (4,6), (4,7), (5,6), (5,7), (6,7)}
- 표본 공간의 원소의 수
  - $\binom{7}{2} = 21$
- 흰공이 2개 뽑히는 경우의 수
  - $\binom{4}{2} = 6$
- 확률 : 6/21 = 2/7
검은 공 : 3개
흰 공 : 4개
2개의 공을 무작위로 뽑을 때, 흰공 1개, 검은공 2개가 나올 확률?
- 표본 공간의 원소의 수
  - $\binom{7}{3} = 35$
- 흰공 1개, 검은공 2개가 뽑히는 경우의 수
  - $\binom{4}{1} * \binom{3}{2} = 12$
- 확률 : 12/35

사건 A나 B가 일어날 확률

$P(A\cup B) = {

A \cup B

\above 1pt

} = {4 \above 1pt 6} = {2 \above 1pt 3}$

사건 A와 B가 동시에 일어날 확률

$P(A \cap B) = {

A \cap B

\above 1pt

} = {2 \above 1pt 6} = {1 \above 1pt 3}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- $P(A \cup B) = {1 \above 1pt 2} + {1 \above 1pt 2} - {1 \above 1pt 3} = {2 \above 1pt 3}$
1000명의 사람이 있는데, 남자의 비율이 40%, 20세 미만의 비율이 43%, 20세 미만이면서 남자인 사람의 비율이 15%라고 한다.
한 명의 사람을 랜덤하게 뽑을 때 남자이거나 20세 미만일 확률?
A : 남자일 사건
- $P(A)$ = 0.4
B : 20세 미만일 사건
- $P(B)$ = 0.43
20세 미만이면서 남자인 사람일 확률
- $P(A \cap B) = 0.15$
한 명의 사람을 랜덤하게 뽑을 때 남자이거나 20세 미만일 확률
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  - $P(A \cup B) = 0.4 + 0.43 - 0.15 = 0.68$

두 사건의 교집합이 공집합일 경우
- 사건 A와 사건 B가 서로 배반
- $P(A \cap B) = 0$
- $P(A \cup b) = P(A) + P(B)$
사건 A
- 주사위를 던져서 홀수가 나오는 사건
- {1,3,5}
사건 B
- 주사위를 던져서 4의 배수가 나오는 사건
- {4}
A와 B는 서로 배반
- $P(A \cup b) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3$

$P(B|A) = {P(A \cap B) \above 1pt P(A)}$
$P(A \cap B) = P(B|A)P(A)$

어떤 학교에서 60%의 학생이 남학생이다. : 사건 A
그 학교 남학생의 경우 80%는 축구를 좋아한다. : 사건 B
그 학교에서 학생 1명을 랜덤하게 뽑았을 때 축구를 좋아하는 남학생일 확률은?
- $P(A \cap B) = P(B A)P(A) = 0.8 \times 0.6 = 0.48$